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trig函數的最小值和最大值

我正在努力幫助我的一個朋友解決這個問題。我從微積分開始已經10年了,請幫助: 在$ [0,2 \ pi)$上找到$ y = \ sin x + \ cos x $的最小值/最大值 謝謝。 我有這麽多:

$f'(x) = \cos x - \sin x$. $0 = \cos x - \sin x$. $\sin x = \cos x$. $\tan x = 1$.

謝謝 在終點和臨界點進行評估:

$ f(0)= 1 $ $ f(2 \ pi)= 1 $ $ \ sin x = \ cos x $ at $ \ pi/4 $

因此, $ f(x)$的最小值為$ \ pi/4 $,$ f(x)$的最大值為$ x = 0 $ $ [0,2 \ pi)$(極值定理)

最佳答案

不,你沒有得到$ \ tan x = 0 $;你最多會得到$ \ tan x = 1 $(記住$ \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x} $。如果$ \ sin x $和$ \ cos x $相等,則商等於$ 1 $,而不是$ 0 $)。

所以,你記得你想要找到臨界點(導數為零的點)。那很好。你還需要記住的是,如果你在一個封閉的時間間隔內有一個連續的函數,那麽每個都可以在一個臨界點或一個終點得到最大值和最小值。 Here, you might as well work over $[0,2\pi]$ (the value at $2\pi$ is the same as the value at $0$). So the maximum and the minimum of $f(x)$ will be achieved either at $x=0$, or at a point where $f'(x)=0$, that is, a point where $\sin(x) = \cos(x)$ in the interval (better to work with these, since this equality does not depend on $\cos(x)\neq 0$, whereas $\tan(x)=1$ does; of course, it does not really matter here because if $\cos(x)=0$, then $\sin(x)\neq \cos(x)$). 所以,問題是:對於什麽點$ x $,$ 0 \ leq x \ leq 2 \ pi $,你有$ \ sin(x)= \ cos(x)$?有兩個這樣的要點;一旦你擁有它們,只需在這些點評估原始函數,並在$ x = 0 $(其中它與$ x = 2 \ pi $具有相同的值,這就是為什麽我們能夠添加$ 2 \ pi $到了簡單的間隔)。您獲得的最大值是最大值,您獲得的最小值是最小值。

轉載註明原文: trig函數的最小值和最大值