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Black-Scholes方程 - 無風險投資組合推導

以下是維基百科上給出的Black-Scholes方程的推導摘要( http ://en.wikipedia.org/wiki/Black-Scholes_equation#Derivation ) - 我對假設指定的投資組合是自籌資金有疑問。

我們有兩個資產市場:

$ dB_t = B_t r dt $

$ dS_t = S_t(\ mu dt + \ sigma dW_t)$

我們在$ t $時引入價格為$ v(t,S_t)$的歐式期權。我們現在考慮一個由一個選項組成的投資組合 - $ \ frac {\ partial v} {\ partial S} $ stocks。因此,如果$ X_t $是我們在$ t $時的財富,我們必須有$ X_t = v(t,S_t) - \ frac {\ partial v} {\ partial S} S_t $。

然後聲稱我們有$ dX_t = dv(t,S_t) - \ frac {\ partial v} {\ partial S} dS_t $,因為投資組合是自籌資金的。

然而,在我看來,如果我們在我們的投資組合中持續持有1個期權,那麽使整個投資組合自籌資金的唯一方法就是持續持有股票(否則,如果我們增加/減少我們的股票有股票,這裏的額外資金來自哪裏?)。

通常情況下,我看到自我融資組合的構建方式是,1資產(例如,無風險資產)的持有沒有明確規定,並由自籌資金條件(即$ X_t的條件)決定。 = \ pi_t \ cdot P_t $和$ dX_t = \ pi_t \ cdot dP_t $,其中$ \ pi $是投資組合,$ P_t $是價格過程 - 這給出了未指定持股的線性方程式。

基於上述情況,似乎為了擁有一個自籌資金的投資組合,我們持有一個恒定的1期權和$ - \ frac {\ partial v} {\ partial S} $股票,我們也必須有一個動態的持股這種無風險資產使我們能夠確保在不註入外部資金的情況下始終擁有$ - \ frac {\ partial v} {\ partial S} $股票(從而打破自籌資金條件)。但是,如果我們確實在我們的投資組合中持有無風險資產,那麽我們的財富過程等式($ X_t = v(t,S_t) - \ frac {\ partial v} {\ partial S} S_t $)變得不正確,因為我們沒有考慮到我們持有無風險資產。

總之,我不認為在Black-Scholes方程的維基百科推導中指定的1選項和$ - \ frac {\ partial v} {\ partial S} $股票的投資組合是自籌資金的,但是推導利用它[i] [/ i]自籌資金的事實。我錯過了什麽嗎?

編輯:

如果由1個期權和$ - \ frac {\ partial V} {\ partial S} $股票組成的投資組合是自籌資金的,那麽我們有以下內容:

$ X_t = V(t,S_t) - \ frac {\ partial V} {\ partial S} S_t $(財富過程的定義)

$ dX_t = dV(t,S_t) - \ frac {\ partial V} {\ partial S} dS_t $(假設投資組合為自籌資金)

$ dX_t = dV(t,S_t) - d(\ frac {\ partial V} {\ partial S} S_t)$(簡單來說就是差異的定義)

等同於上述第二和第三等式的RHS給出:

$ dV(t,S_t) - \ frac {\ partial V} {\ partial S} dS_t = dV(t,S_t) - d(\ frac {\ partial V} {\ partial S} S_t)$

所以$ \ frac {\ partial V} {\ partial S} dS_t = d(\ frac {\ partial V} {\ partial S} S_t)$。

Using Ito's lemma on the RHS gives: $\frac{\partial V}{\partial S}dS_t = d(\frac{\partial V}{\partial S})S_t + \frac{\partial V}{\partial S}dS_t + d<\frac{\partial V}{\partial S},S>_t$.

And so $d(\frac{\partial V}{\partial S})S_t + d<\frac{\partial V}{\partial S},S>_t = 0$. (*)

Now, $d(\frac{\partial V}{\partial S}) = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^3 V}{\partial S^3}d_t$.

Therefore $d<\frac{\partial V}{\partial S},S>_t = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S_t^2 \sigma^2 dt$.

將這些插入(*)給出:

$\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^3 V}{\partial S^3}d_t + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S_t^2 \sigma^2 dt = 0$.

因此$ \ frac {\ partial ^ 2 V} {\ partial S \ partial t} dt + \ frac {\ partial ^ 2 V} {\ partial S ^ 2} dS_t + \ frac {1} {2} \ frac { \ partial ^ 3 V} {\ partial S ^ 3} \ sigma ^ 2 S_t ^ 2 dt + \ frac {\ partial ^ 2 V} {\ partial S ^ 2} S_t ^ 2 \ sigma ^ 2 dt = 0 $。

$ dS_t $的cofficient必須為零,所以$ \ frac {\ partial ^ 2 V} {\ partial S ^ 2} = 0 $,所以$ V(t,S)= f(t)+ Sg(t) $。我們可以在此時停止,因為我們知道我們不能滿足邊界條件$ v(T,S)= \ max(0,SK)$,因此我們假設我們可以用自我來對沖期權融資組合包括1個期權和$ - \ frac {\ partial V} {\ partial S} $ shares是錯誤的。

但是,請註意$ dt $的系數也必須為零,因為我們已經有$ \ frac {\ partial ^ 2 V} {\ partial S ^ 2} = 0 $,這就得到$ \ frac {\ partial ^ 2 V} {\ partial S \ partial t} = 0 $。由於$ V(t,S)= f(t)+ Sg(t)$,這意味著$ g $是常數。因此,$ \ frac {\ partial V} {\ partial S} $是不變的,正如我在下面的評論中所聲稱的那樣 - 即為了使其成為一個自籌資金的投資組合,股票的持有必須是不變的。

最佳答案

你是正確的,顯示BS組合的自籌資金條件並不像人們想象的那麽簡單:

投資組合$ V_t(\ alpha_t,\ beta_t)$(對於股票$ S_t $和zerobond $ B_t $)是自籌資金iff:

$$ V_t = \ alpha_tS_t + \ beta_t B_t $$

它進一步暗示

$$ dV_t = \ alpha_tdS_t + \ beta_tdB_t $$

要通過自籌資金的股票和債券投資組合復制衍生品$ C(S_t,t)$,請設置:$$ dV_t = dC_t $$

可以使用Ito的引理在$ C(S_t,t)$指定$ dC $的動態:

$$ DC = \ partial_tCdt + \ partial_sCdS + \壓裂{1} {2} \西格瑪^ 2S_t ^ 2 \ partial_ {SS} CDT = \ partial_SCdS_t +(\ partial_tC + \壓裂{1} {2} \西格瑪^ 2S_t ^ 2 \ partial_ {SS} C)dt的$$

接下來假設$ C $滿足BS-PDE:

$$ \ partial_tC + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2S_t ^ 2 \ partial_ {SS} C = rC-rS_t \ partial_S C $$

將其插入$ dC $:

$$ DC = \ partial_SCdS_t +(C-S_T \ partial_SC)RDT $$

現在我們進一步得到債券動態$ dB_t = B_trdt $,所以:

$$ dC = \ partial_SC \ cdot dS_t + \ left(\ frac {C_t} {B_t} - \ frac {S_t} {B_t} \ partial_SC \ right)\ cdot dB_t $$

最後,$ dS_t $和$ dB_t $之前的系數正是自籌資金投資組合的權重:

$$ \左(\ alpha_t = \ partial_SC,\,\ beta_t = \ dfrac {C_T} {B_T} - \ dfrac {S_T} {B_T} \ partial_SC \右)$$

轉載註明原文: Black-Scholes方程 - 無風險投資組合推導