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Black-Scholes方程的等價形式(轉換為熱方程)

我試圖理解Black-Scholes方程轉化為 Joshi,M。(2011)的一維熱方程。數學金融的概念與實踐。第2版​​。劍橋,英國:劍橋大學出版社,第119頁。。作者說Black-Scholes方程:

$ \ frac {\ partial C} {\ partial t}(S,t)+ rS \ frac {\ partial C} {\ partial S}(S,t)+ \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 S ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 C} {\ partial S ^ 2}(S,t)-rC = 0 $

可以改寫為:

$ \ frac {\ partial C} {\ partial t}(S,t)+(r- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2)S \ frac {\ partial C} {\ partial S}(S ,t)+ \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2(S \ frac {\ partial} {\ partial S})^ 2 C -rC = 0 $,

但是我看不出這兩個方程是如何相等的,特別是我不明白額外的$ - \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 S \ frac {\ partial C} {\ partial S (S,t)$來了。我試過擴展平方微分算子如下:

\begin{align*} & \frac{1}{2}\sigma^2(S \frac{\partial}{\partial S})^2 C(S,t) \\ &= \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial}{\partial S} [\frac{\partial}{\partial S} (S^2 C(S,t))] \\ &= \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial}{\partial S} [2S\cdot C(S,t) + S^2 \frac{\partial C(S,t)}{\partial S}] \\ &= \frac{1}{2}\sigma^2 [2C(S,t) + 2S \frac{\partial C(S,t)}{\partial S} + 2S \frac{\partial C(S,t)}{\partial S} + S^2 \frac{\partial^2 C(S,t)}{\partial S^2} \\ &= \frac{1}{2} \sigma^2 [2C(S,t) + 4S \frac{\partial C(S,t)}{\partial S}] + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial ^2 C(S,t)}{\partial S^2} \end{align*}

有什麽東西我錯過了嗎?誰能幫我嗎?

謝謝。

最佳答案

我認為你已經完成了主要問題 - 也就是說,為什麽$ \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 S ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 C} {\ partial S ^ 2} $與$ - \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 S \ frac {\ partial C} {\ partial S} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2(S \ frac)相同{\ partial} {\ partial S})^ 2 C $。我認為你的困惑來自於處理平方運算符。

寫下表達意味著什麽,我們有

$$ (S \ frac {\ partial} {\ partial S})^ 2 C =(S \ frac {\ partial} {\ partial S})(S \ frac {\ partial} {\ partial S})C $$

也就是說,首先將$ S \ frac {\ partial} {\ partial S} $應用於$ C $,然後將$ S \ frac {\ partial} {\ partial S} $應用於結果 。請註意,我們不能只是切換這些符號的順序 - 這與$ \ frac {\ partial} {\ partial S} \ frac {\ partial} {\ partial S} S ^ 2 $不同。 (派生運算符很少與任何東西進行通信 - 嘗試使用常量值$ C = 1 $對假設選項進行評估)擴展表達式應該給出

$$ (S \ frac {\ partial} {\ partial S})^ 2 C = S \ frac {\ partial} {\ partial S}(S \ frac {\ partial C} {\ partial S}) $$

並應用產品規則,這等於

$$ S(\ frac {\ partial S} {\ partial S} \ frac {\ partial C} {\ partial S} + S \ frac {\ partial ^ 2 C} {\ partial S ^ 2}) $$

(順便說一下,我們可以看到,正是產品規則使得衍生品無法通過乘以$ S $進行通勤)。所以

$$ (S \ frac {\ partial} {\ partial S})^ 2 C = S \ frac {\ partial C} {\ partial S} + S ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 C} {\ partial S ^ 2 } $$

將此乘以$ \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 $並重新排列一點,我們應該得到我們的結果。

轉載註明原文: Black-Scholes方程的等價形式(轉換為熱方程)