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在等幾何分析中計算空間二階導數

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在等幾何分析中,狀態變量(例如位移)在參數域中定義,可以通過$ \ boldsymbol {\ xi} \ mapsto \ boldsymbol {x} $映射到物理域,如下所示。然而,與位移相關的數量,例如應力,應變,是位移的空間導數。以下程序通常用於解決這些衍生物。 $ \ $ blacksquare

讓$ u $成為位移向量$ \ boldsymbol {u} $的一個組成部分

\開始{}方程 你(\ xi,\ eta)= \ sum_ {i} c_iN ^ i(\ xi,\ eta) \ {端方程} 從參數域到物理域的幾何映射 $$ x(\ xi,\ eta)= \ sum_ {i} x_i N ^ i(\ xi,\ eta),\ quad y(\ xi,\ eta)= \ sum_ {i} y_i N ^ i(\十一,\ ETA),$$ 其中$ c_i,x_i,y_i $是常量,假設$(\ xi,\ eta)\ mapsto(x,y)$是雙射的,即逆存在,$$ J:= [\ frac {\ partial x_i} {\ partial \ xi_j}],\:| J | \ neq 0 \ quad(\ text {where} x_2 = y,\,\ xi_2 = \ eta)。$$

按鏈規則, $$ \ frac {\ partial u} {\ partial \ xi_j} = \ frac {\ partial u} {\ partial x_i} \ frac {\ partial x_i} {\ partial \ xi_j} $$

要麽

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial \xi}\\ \frac{\partial u}{\partial \eta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}\\ \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial u}{\partial y} \end{bmatrix} = J^T \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial u}{\partial y} \end{bmatrix}. $$

因此, $$ \ {開始} bmatrix \ frac {\ partial u} {\ partial x} \\ \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ {端} bmatrix = (J 1 T)^ { - 1} \ {開始} bmatrix \ frac {\ partial u} {\ partial \ xi} \\ \ frac {\ partial u} {\ partial \ eta} \ {端} bmatrix $$

This is the common procedure used in isogemetric analysis f要麽 computing stiffness matrix.

However, when w要麽king on sensitivity analysis, I need to compute the second derivatives $$\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j},\quad i \text{ and }j \in \{1,2\}.$$

人們可能會認為位移$ \ boldsymbol {u} = [u,v] ^ T $。

在Scirus網站上搜索過後,我找不到任何有用的文件。但我認為必須由一些團體來完成。參考將不勝感激。我有很多訪問科學數據庫的權限,所以只有鏈接到論文就足夠了。

非常感謝。


稍作解釋

I have encountered this problem when w要麽king on sensitivity analysis, especially adjoint method with the approach of material derivatives. Let assume we have an objective functional $$\phi = \int_{\Omega}f(\sigma,\epsilon,p)\,\mathrm{d}\Omega$$ where $p$ is a design parameter(e.g. co要麽dinate of one control point). With linear elastostatics, $\sigma,\,\epsilon$ are functions of $\nabla \boldsymbol{u}$, so we can write $f = f(\nabla u)$.

並且域功能的物質衍生物是 $$ \ dot {\ phi} = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} p} \ phi = \ int _ {\ Omega} \ frac {\ partial} {\ partial \ nabla \ boldsymbol {u}} f:\ nabla \ dot {\ boldsymbol {u}} - \ frac {\ partial} {\ partial \ nabla \ boldsymbol {u}} f:\ nabla((\ nabla \ boldsymbol {u})\ boldsymbol {v})\,\ mathrm {d} \ Omega + \ INT _ {\局部\歐米茄} F(\ boldsymbol {V} \ CDOT \ boldsymbol {N})\,\ mathrm {d} \伽瑪。 $$

The first term in the domain integral is taken care of by adjoint f要麽mulation. From the second term in the domain integral, the second derivative is required.

最佳答案

你已經走上正軌了。要使用您計算的結果計算您想要的第一個導數,您使用了鏈規則。

要使用您擁有的信息計算所需的二階導數,您實際上是使用鏈規則兩次。 FaàdiBruno的公式是您可以使用的鏈規則的公式在這個情況下。

轉載註明原文: 在等幾何分析中計算空間二階導數