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在國際象棋比賽中冥想

Halfbrain教授整個周末都在本地國際象棋比賽中觀看比賽。 像往常一樣,每兩名球員只打一場比賽。 勝利產生1分,平局產生半分,虧損沒有產生任何結果。 在比賽結束時,Halfbrain教授仔細分析了所有比賽並將其與球員的最終比賽排名進行了比較。

令他興奮的是,Halfbrain意識到比賽中有一些比賽,勝利者的得分(最終排名)低於失敗者(在最終排名中)。 Halfbrain教授決定將此類遊戲稱為荒謬,並將所有其他遊戲(包括所有以抽獎結尾的遊戲)稱為 sensical 遊戲。 這位教授設法證明了關於感性和荒謬遊戲的以下兩個深層定理。

Halfbrain教授的第一個定理:   在每次國際象棋錦標賽中,至少$ 0%的玩遊戲都是明智的。

     

Halfbrain教授的第二個定理:   有國際象棋比賽,其中最多100美元的比賽是感性的。

這個謎題要求你改進Halfbrain教授的兩個定理並使它們更深入。 找到一個整數$ x $,這樣第一個定理中的“$ 0 $ percent”可以用“$ x $ percent”代替,這樣第二個定理中的“$ 100 $ percent”就可以用“$ x”代替+ 1 $%“(當然,再次產生真實的陳述)。

最佳答案

Edited to make the first part more rigorous (and correct the value of x thanks to @mdc32).
This will be a little bit handwavy, but here goes.

x是50,即只有不到50%的遊戲可以是荒謬的。

首先,我們必須展示Halfbrain的第一個x定理。

假設至少有50%的遊戲是荒謬的。我們可以將點表分為上部和下部,m個玩家位於頂部,n位於底部,並且各部分之間沒有重疊。否則所有玩家必須擁有相同的分數且沒有荒謬的遊戲。
 頂部有$ m(m-1)/ 2 $組內遊戲,底部有$ n(n-1)/ 2 $。有$ mn $ intergroup遊戲。假設至少$ mn/2 $是荒謬的。然後,頂部的平均得分最多為$(m-1)/ 2 + n/2 $,底部的平均得分至少為$(n-1)/ 2 + m/2 $。這意味著底部的平均得分至少與頂部一樣好。所以來自底部的一些球員必須得到至少和頂部一樣好的分數,這是一個矛盾  如果50%的遊戲是荒謬的,並且群際遊戲不能50%荒謬,那麽對於至少一個部分,群內遊戲必須至少50%無意義。我們采取這一部分,並遞歸地重復分割過程。最終我們必須到達一個包含2或3名玩家的小組,這些玩家不能擁有任何荒謬的遊戲,但必須至少有50%的荒謬遊戲。所以這也是一個矛盾。
 我們得出結論,無意義遊戲的數量必須少於50%。

接下來我們必須展示Halfbrain對x + 1的第二個定理 步驟1:

考慮一個擁有大量參賽者的比賽,均勻匹配。每個人贏了一半比賽,輸了另一半,所以所有人都得到了同樣的分數。一個遲到的參賽者出現並參加每個參賽者,贏了一半,輸了一半。那些贏得最後一場比賽的人比那些沒有獲勝的人贏了一場勝利;但是每個“勝利者”在與“失敗者”組中的某個人的比賽中失去了一半。在所有比賽中,四分之一在“贏家”之間進行,四分之一在“輸家”之間進行,一半在“贏家”和“輸家”之間進行。這一半的一半將由“輸家”組的玩家贏得,也就是說,四分之一將是荒謬的遊戲。

第2步:

我們可以通過增加另外兩名已故參賽者來重復這一點。第一個得到的結果與最初的選手相同;第二個將“贏家”和“輸家”組再次分成兩半。只有一半的比賽仍然受到影響(每組四分之一),我們只能將四分之一的受影響的比賽變成無意義的比賽;總共八分之一。

第n步:

我們需要$ 2 ^ {n-1} $已故選手;一個將在現有組中引發新的分裂,其余的將保持現有的分裂。我們將進一步$ \ frac {1} {2 ^ {n + 1}} $遊戲無意義

期望目標:

重復,因為你可以將組維持為“大”,這將不會那麽長。受影響的遊戲總數將是1/4 + 1/8 + 1/16 + ....這是你永遠無法達到的50%的限制。但是你可以超過49%,屆時你會引入127名已故參賽者,你將有128個小組  請註意,您不必真正介紹新的參賽者,但它可以更容易地描繪出正在發生的事情。

轉載註明原文: 在國際象棋比賽中冥想