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麻煩來到Black-Scholes Formula

I am attempting to arrive at the Black-Scholes formula for my own understanding. I can accept one can use the risk-free distribution & rate, so I am attempting to use the distrution to arrive at the result rather than PDEs. Here is what I have: $$\lim\limits_{b \to \infty}\int_a^b pdf(s)(s-K)ds$$

由於最初的價格是$ S_0 $,我用$ s $彈出。

$$ \ lim \ limits_ {b \ to \ infty} \ int_a ^ b pdf(s * S_0)(s * S_0-K)ds $$

其中$ a = K/S_0 $。

由於B-S公式選擇日誌正常,我將使用它作為pdf:

$$ \ lim \ limits_ {b \ to \ infty} \ int_a ^ b \ dfrac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} * e ^ {\ dfrac { - (ln(s * S_0) - \ mu)^ 2} {2 \ sigma ^ 2}} - \ int_a ^ b \ dfrac {K} {S_0s \ sigma \ sqrt {2 \ pi}} * e ^ {\ dfrac { - (ln(s * S_0) - \畝)^ 2} {2 \西格瑪^ 2}} $$

我覺得我很高興來到這裏,但我可能會把我的$ S_0 $放在哪裏......不管怎樣,第一個積分看起來很可怕但我在這裏找到了一些幫助:https://stats.stackexchange.com/questions/9501/是 - 它可能 - 分析 - 整合-x-倍增 - 對數正態 - 概率所以我很確定我們最終會得到這樣的東西(對於第一個積分) :

$$ E 1 {\畝+ \壓裂{1} {2} \西格瑪}(\披(\測試版) - \披(\阿爾法))$$

其中$ \ beta =(ln(b) - \ mu- \ sigma ^ 2)/ \ sigma $和$ \ alpha =(ln(K/S_0) - \ mu-\ sigma ^ 2)/ \ sigma $

我應該在這裏提一下,在我看到$ \ sigma $的時候,我一直懶得精神地替換$ \ sigma \ sqrt {t} $。

由於$ b $將達到$ \ infty $,$ \ Phi(\ beta)$將達到$ 1 $。此時我們還應該嘗試擺脫$ \ mu $。由於$ S_0e ^ {rt} $是預期的遠期價格,我們可以設置等於$ e ^ {\ mu + \ sigma ^ 2/2} $並獲得:

$$ \ mu = ln(S_0)+ rt - \ sigma ^ 2/2 $$

至於第二個積分,我們將得到兩個對數正常CDF(我認為)乘以$ K $的差異。第一個將是$ 1 $,因為$ b $將是$ \ infty $,所以我們得到$ K(1-LNCDF(a))$。

因此我的結果是$ S_0e ^ {rt}(1- \ Phi(a)) - K(1-LNCDF(a))$這看起來不太熟悉所以我想知道我做錯了什麽。謝謝!

最佳答案

這裏有一些指針可以讓你回到正確的道路上(所以我希望如此):

  • 從支付函數開始,因此$ S(T)$,包括$(W(T)-W(t))$,$ W $是風險中性指標下的布朗運動

  • 使用標準的普通隨機變量可以大大簡化:

$$ Y = \ frac { - (W(T)-W(t))} {\ sqrt {T-t}} $$,這有助於擺脫指標函數並導出d +和d-,

  • 您需要執行變量更改以表達部分結果作為cdf的函數。

您可以在Steven Shreve中找到完整的派生,隨機微積分財務II ,2004年版, pp.218

轉載註明原文: 麻煩來到Black-Scholes Formula