# 麻煩來到Black-Scholes Formula

I am attempting to arrive at the Black-Scholes formula for my own understanding. I can accept one can use the risk-free distribution & rate, so I am attempting to use the distrution to arrive at the result rather than PDEs. Here is what I have: $$\lim\limits_{b \to \infty}\int_a^b pdf(s)(s-K)ds$$

$$\ lim \ limits_ {b \ to \ infty} \ int_a ^ b pdf（s * S_0）（s * S_0-K）ds$$

$$\ lim \ limits_ {b \ to \ infty} \ int_a ^ b \ dfrac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} * e ^ {\ dfrac { - （ln（s * S_0） - \ mu）^ 2} {2 \ sigma ^ 2}} - \ int_a ^ b \ dfrac {K} {S_0s \ sigma \ sqrt {2 \ pi}} * e ^ {\ dfrac { - （ln（s * S_0） - \畝）^ 2} {2 \西格瑪^ 2}}$$

$$E 1 {\畝+ \壓裂{1} {2} \西格瑪}（\披（\測試版） - \披（\阿爾法））$$

$$\ mu = ln（S_0）+ rt - \ sigma ^ 2/2$$

## 最佳答案

• 從支付函數開始，因此$S（T）$，包括$（W（T）-W（t））$，$W$是風險中性指標下的布朗運動

• 使用標準的普通隨機變量可以大大簡化：

$$Y = \ frac { - （W（T）-W（t））} {\ sqrt {T-t}}$$，這有助於擺脫指標函數並導出d +和d-，

• 您需要執行變量更改以表達部分結果作為cdf的函數。