一千萬個為什麽

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連續三角洲對沖公式

當我們使用一些隱含波動率$ \ sigma_i $買入看漲期權並持續進行delta套期保值時,鑒於實際實現的波動率是$ \ sigma_r $,我們的總利潤是多少?

假設$ S_0 = 1000,\ sigma_i = 0.25,\ mu = 0.10 $,並且呼叫從現在起一年後到期。

How does the formula look like in terms of $\sigma_r$? What happens if $\sigma_r =0$? $> \sigma_i$? $< \sigma_i$?

最佳答案

這是我的評論的略微擴展版本,總結了我提供的參考的主要結果。

Wilmott(2006)的第12章詳細討論了這個問題,該文章基於Ahmad和Wilmott(2005)的論文。另見Carr(2005)中的相關問題9。

在您的情況下,您使用隱含波動率$ \ sigma _ {(i)} $進行賣出和delta對沖期權,而標的資產的實際波動率為$ \ sigma _ {(r)} $。您的投資組合損益由(i)衍生工具和(ii)對沖頭寸的價值變動總和給出,均使用隱含波動率。我們有

\開始{}方程 \ mathrm {d} \ Pi_t = \ mathrm {d} V_t ^ {(i)} - \ Delta_t ^ {(i)} \ mathrm {d} S_t - r \ left(V_t ^ {(i)} - \ Delta_t ^ {(i)} S_t \ right)\ mathrm {d} t。 \ {端方程}

以來

\開始{}方程 \ mathrm {d} V_t ^ {(i)} = \ frac {\ partial V ^ {(i)}} {\ partial t} \ mathrm {d} t + \ underbrace {\ frac {\ partial V ^ {( i)}} {\ partial S}} _ {= \ Delta ^ {(i)}} \ mathrm {d} S_t + \ frac {1} {2} \ underbrace {\ frac {\ partial ^ 2 V ^ { (i)}} {\ partial S}} _ {= \ Gamma ^ {(i)}} \ mathrm {d} \ langle S \ rangle_t, \ {端方程}

我們得到

\開始{}方程 \ mathrm {d} \ Pi_t = \ left(\ frac {\ partial V ^ {(i)}} {\ partial t} + \ frac {1} {2} \ sigma _ {(r)} ^ 2 S_t ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 V ^ {(i)}} {\ partial S ^ 2} - r \ left(V_t ^ {(i)} - \ Delta_t ^ {(i)} S_t \ right)\ right) \ mathrm {d}噸。 \ {端方程}

現在我們使用$ V ^ {(i)} $來滿足Black-Scholes PDE

\開始{}方程 \ frac {\ partial V ^ {(i)}} {\ partial t} + r S_t \ underbrace {\ frac {\ partial V ^ {(i)}} {\ partial S}} _ {= \ Delta ^ { (i)}} + \ frac {1} {2} \ sigma _ {(i)} ^ 2 S_t ^ 2 \ underbrace {\ frac {\ partial ^ 2 V ^ {(i)}} {\ partial S ^ 2 } {_ \ = Gamma ^ {(i)}} - r V ^ {(i)} = 0 \ {端方程}

獲得

\開始{}方程 \ mathrm {d} \ Pi_t = \ frac {1} {2} \ left(\ sigma _ {(r)} ^ 2 - \ sigma _ {(i)} ^ 2 \ right)S_t ^ 2 \ Gamma ^ {(i )} \ mathrm {d} t。 \ {端方程}

即在每個短的時間間隔內,您的利潤和損失與實現的隱含方差乘以當前伽瑪(使用隱含波動率計算)的差異成正比。雖然$ \ mathrm {d} \ Pi_t $是確定性的,但期權的整個套期保值損益與路徑有關。對於在擊打周圍波動的路徑(伽馬值更高),其絕對值更高。

<�強>參考</強>

Ahmad, Riaz and Paul Wilmott (2005) "Which Free Lunch Would You Like Today, Sir? Delta Hedging, Volatility Arbitrage and Optimal Portfolios," Wilmott Magazine, available here

Carr, Peter (2005) "FAQs in Option Pricing Theory", Working Paper, available here

Wilmott,Paul(2006) Paul Wilmott on Quantitative Finance ,Vol。 1:Wiley,第2版

轉載註明原文: 連續三角洲對沖公式