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“矛盾的證據”是否比其他證據弱?

我記得有幾次聽到這樣的建議,如果通過對立方式轉化為直接證據或證明很簡單,我們應該避免使用矛盾的證據。你能解釋一下原因嗎?邏輯學家是否認為矛盾證據比直接證據弱一些?

盡管已經找到矛盾的證據,是否有理由繼續尋找某個定理的直接證明?我不是指在優雅或展覽方面的改進,我是在問一些合乎邏輯的理由。例如,在“選擇公理”的情況下,顯然有理由尋找一個不使用選擇公理的證明。有矛盾的證據有類似的情況嗎?

最佳答案

為了這個MathOverflow問題,我發布了以下答案(還有其他幾個有趣的答案):

With good reason, we mathematicians prefer a direct proof of an implication over a proof by contradiction, when such a proof is available. (all else being equal)

是什麽原因?原因是證明的 fecundity ,這意味著我們能夠使用證明進行進一步的數學結論。當我們直接證明一個蘊涵(p隱含q)時,我們假設p,然後在最終推導出q之前得出一些中間結論r1,r2。因此,我們的證明不僅證明了p意味著q,而且p也意味著r1和r2等等。我們的證明為我們提供了關於p的上下文的額外知識,關於p在任何數學世界中還必須持有的其他知識。因此,我們更全面地了解p世界正在發生的事情。 Similarly, when we prove the contrapositive (¬q implies ¬p) directly, we assume ¬q, make intermediary conclusions r1, r2, and then finally conclude ¬p. Thus, we have also established not only that ¬q implies ¬p, but also, that it implies r1 and r2 and so on. Thus, the proof tells us about what else must be true in worlds where q fails. Equivalently, since these additional implications can be stated as (¬r1 implies q), we learn about many different hypotheses that all imply q.

這些結論可以增加證明的價值,因為我們不僅學習(p蘊含q),而且我們也學習了一個完整的上下文,這個上下文是關於p持有的數學情形(或q失敗的情況)或關於導致q的各種情況)。 With reductio, in contrast, a proof of (p implies q) by contradiction seems to carry little of this extra value. We assume p and ¬q, and argue r1, r2, and so on, before arriving at a contradiction. The statements r1 and r2 are all deduced under the contradictory hypothesis that p and ¬q, which ultimately does not hold in any mathematical situation. The proof has provided extra knowledge about a nonexistant, contradictory land. (Useless!) So these intermediary statements do not seem to provide us with any greater knowledge about the p worlds or the q worlds, beyond the brute statement that (p implies q) alone.

我認為這就是有時候,當一個數學家通過矛盾完成一個證明時,事情仍然可能似乎超越了暴力暗示而變得不穩定,與直接證明的情況相比,對於發生的事情的背景和知識較少。 舉一個證明的例子,我們在矛盾證明中導致錯誤的期望,可以考慮歐幾裏德定理,即存在無限多的素數。在一個矛盾的常見證明中,我們假設p 1 ,...,p n 都是素數。由此可見,由於沒有一個產品加上一個產品,所以這個產品加上一個也是質數。這與名單是詳盡無遺的相矛盾。現在,許多初學者在這個論證之後錯誤地期待每當p 1 ,...,p n 是素數時,產品加數也是素數。但當然,這不是真的,這將是一個試圖從證明中提取更多信息的錯位的實例,錯位,因為這是一個矛盾的證明,並且這個結論依賴於p <1>/sub>,...,p n 都是所有素數。但是,如果組織證明,作為一個直接的論證,表明每當p 1 ,...,p n 是素數,那麽還有另一個素數不在列表中,則得出真正的結論,即p1 ... p +1 +1僅具有不在原始列表上的素數約數。 (而且邁克爾哈代提到歐幾裏德確實提出了直接的論點。)

轉載註明原文: “矛盾的證據”是否比其他證據弱?