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矛盾的證據是否合乎邏輯?

讓我們說,我通過證明$ A $的否定導致矛盾來證明陳述$ A $。

我的問題是:一個人如何從“所以如果我們沒有$ A $就有矛盾”得出結論“我們有$ A $”?

對我而言,這似乎與邏輯完全相反。聽起來我們說“所以,如果這件事情不真實,我會遇到一個非常大的問題,所以出於方便,我只是表現得像是真的”。

最佳答案

正如你所說的那樣,矛盾的證明是規則$ \ def \ imp {\ Rightarrow} $“$ \ neg A \ imp \ bot \ vdash A $”對於任何聲明$ A $,英文是“如果你能推導出$ \ neg A $暗示矛盾的陳述,然後你可以得出$ A $“。正如其他人所指出的,這不是直覺主義邏輯中的有效規則。但我現在要告訴你為什麽你可能別無選擇,只能同意這個規則(在某些溫和的條件下)。

你看,給定$ A $的陳述,被排除在中間的法則說“$ A \ lor \ neg A $”是真的,在英語中是“A $ $或$ \ neg A $”。現在這個法律有沒有理由持有?如果你希望你可以得到的所有東西都帶有某種直接證據(例如各種建設性邏輯),那麽它可能不會成立,因為有時我們既沒有證據也沒有反對陳述。但是,如果你相信你所能作出的陳述在現實世界中具有意義,那麽法律顯然是有效的,因為現實世界要麽滿足陳述,要麽否定,無論你是否能弄清楚哪一個。

同樣的推理也表明,矛盾永遠不可能是真實的,因為現實世界從來不會同時滿足陳述和否定,僅僅是否定的含義。這給出了爆炸的原理,我將在稍後介紹。

現在考慮到排除中間的法則,考慮以下推理。如果從$ \ neg A $ I可以得出一個矛盾,那麽$ \ neg A $必定是不可能的,因為我的其他規則是保持真實的(從真實的陳述開始它們只得到真實的陳述)。在這裏,我們使用了一個矛盾永遠不可能的屬性。因為$ \ neg A $是不可能的,並且根據被排除在中間的法則我們知道$ A $或$ \ neg A $必須是真的,我們別無選擇,只能斷定$ A $必須為真。

這解釋了為什麽矛盾證明是有效的,只要你接受每個陳述$ A $,“$ A $”和“$ \ neg A $”中的一個是真的。我們使用邏輯來推理我們生活的世界這一事實正是幾乎所有邏輯學家都接受經典邏輯的原因。這就是我在第一段中說“溫和條件”的原因。

回到爆炸原理,這是任何聲明$ A $的規則“$ \ bot \ vdash A $”。乍一看,這似乎比矛盾規則證明更不直觀。但恰恰相反,人們在沒有意識到的情況下使用它。例如,如果你不相信我可以漂浮,你可能會說“如果你可以漂浮,我會吃掉我的帽子!”為什麽?因為你知道如果條件是假的,那麽結論是真還是假是完全無關緊要的。他們隱含地假設“$ \ bot \ imp A $”始終為真,這相當於爆炸原理。

因此,我們可以通過正式演繹表明,排除中間的法則和爆炸原則共同提供了通過矛盾進行證明的能力:

[假設從“$ \ neg A $”你可以得出“矛盾”。]

  $A \lor \neg A$. [law of excluded middle]

  If $A$:

    $A$.

  If $\neg A$:

    Contradiction.

    Thus $A$. [principle of explosion]

  Therefore $A$. [disjunction elimination]

通過矛盾規則獲得證明的另一種可能方法是,如果您接受雙重否定消除,即任何語句$ A $的“$ \ neg \ neg A \ vdash A $”。這可以通過與之前完全相同的推理來證明,因為如果“$ A $”為真,則“$ \ neg A $”為假,因此“$ \ neg \ neg A $”為真,同樣如果“$ A $“是假的,所以是”$ \ neg \ neg A $“。下面是一個正式的推論,表明矛盾消除和雙重否定消除共同提供了通過矛盾進行證明的能力:

[假設從“$ \ neg A $”你可以得出“矛盾”。]

  If $\neg A$:

    Contradiction.

  Therefore $\neg \neg A$. [contradiction elimination/negation introduction]

  Thus $A$. [double negation elimination]

轉載註明原文: 矛盾的證據是否合乎邏輯?