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相對論與牛頓萬有引力定律的矛盾?

Newton's Law of Universal Gravity states that an object will accelerate constantly as it falls. Let's assume an object falling into a black hole. According to Newton's Law, when it reaches the event horizon it must be traveling at c, because c is the escape velocity at the event horizon. Therefore, after it passes the event horizon, it must continue to accelerate past c, yet theory of relativity states that it's never gonna happen. So, in this condition, what will the object do?

最佳答案

A)在相對論體制下,不要嚴肅對待牛頓法則。

根據牛頓定律,當它到達事件視界時,它必須以$ c $行駛,因為$ c $是事件視界的逃逸速度。

這是真的,假設粒子從無限遠處靜止下來,但細節與牛頓理論完全不同。對於Schwarzschild時空中的軌道,有效潛力是 $$ V = - \ frac {GM} {r} + \ frac {l ^ 2} {2r ^ 2} - \ frac {GMl ^ 2} {c ^ 2r ^ 3} \ text {,} $$ 其中$ l \ equiv L/m $是軌道的特定角動量。最後一項提供了在牛頓引力中沒有類似物的相對論修正,所以一般來說,當黑洞的地平線附近時,牛頓定律是不可靠的。

但是對於徑向自由落體,$ l = 0 $,我們有一個總的軌道比能量: $$ \ mathcal {E} = \ frac {1} {2} \ left(\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} \ tau} \ right)^ 2 - \ frac {GM} { R} \ {文字,} $$ 具有牛頓形式。特別是從無限遠處靜止的粒子將會有 $$ \左| \壓裂{\ mathrm {d} R} {\ mathrm {d} \ tau蛋白} \右| = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} \ text {,} $$ 所以當它接近地平線時($ r \到2GM/c ^ 2 $),我們有$ | \ mathrm {d} r/\ mathrm {d} \ tau | \ to c $,就像牛頓理論預測的那樣。

然而,這個動議與牛頓定律的規定大致相似,因為這些數量的解釋存在非常重要的差異。具體來說,(1)$ \ tau $指的是軌道粒子的適當時間,而不是坐標時間$ t $,當然不是絕對時間,因為牛頓理論是適當的,(2)$ r $是指Schwarzschild徑向坐標,其被定義為使得在該坐標處的球體具有表面積$ 4 \ pi r ^ 2 $,並且這不是到中心的徑向距離。

B)坐標沒有內在含義。

因此,在它通過事件視界之後,它必須繼續加速超過$ c $,然而相對論則表示它永遠不會發生。

假設我沿著一根直尺扔掉了一個粒子,並且該尺被標記為腳。因此,例如,如果我的粒子在納秒中沿標尺走5個標記單位,這顯然是一個問題,因為粒子必須是超光速的($ c \ approx 1 \,\ mathrm {ft}/\ mathrm {ns} $ )。

現在假設統治者沒有用腳標記,我也沒有告訴你它是如何標記的。粒子在納秒內運行五個單位是否是一個問題?在不知道標記是什麽的情況下,這種“坐標速度”的表述甚至沒有意義。最後,假設我告訴你標尺是如何標記的,但它的標記實際上並不測量標尺上的距離。那麽這是一個問題,它在納秒內通過這些標記中的五個?

道德就是:簡單地說,坐標就是標識事件的標簽。人們可以選擇坐標,使得坐標速度任意大或小,並且不重要,因為坐標不是物理事物。宇宙沒有自己的坐標;他們只是我們穿上東西的標簽。

然而,可以給出坐標含義的是度量張量,其將坐標與實際長度或持續時間相關聯,因此,例如,Schwarzschild徑向坐標具有關於表面面積的集合含義。最後,Schwarzschild坐標在地平線附近是病態的。它們不是跨越地平線定義的(從技術上講,Schwarzschild坐標實際上是兩個完全不同的坐標圖,由地平線斷開)。您可以在Schwarzschild指標(單位為$ G = c = 1 $)中看到: $$ \ mathrm {d} s ^ 2 = - \ left(1- \ frac {2M} {r} \ mathrm {d} r ^ 2 + r ^ 2(\ mathrm {d} \ theta ^ 2 + \ sin ^ 2 \ theta \,\ mathrm {d} \ phi ^ 2 \ right)^ { - 1} \, )\文本{,} $$ 其中Schwarzschild圖表中的度量系數在地平線$ r = 2M $處未定義。

C)“所以,在這種情況下,對象會做什麽?”

它將跨越事件視界並以奇點結束。

以下是 Gullstrand-Painlevé坐標中的相同Schwarzschild幾何: $$ \ mathrm {d} s ^ 2 = - \ mathrm {d} t ^ 2 + \ left(\ mathrm {d} r + \ sqrt {\ frac {2M} {r}} \,\ mathrm {d} t \ right)^ 2 + r ^ 2(\ mathrm {d} \ theta ^ 2 + \ sin ^ 2 \ theta \,\ mathrm {d} \ phi ^ 2)\ text {。} $$ 在這個坐標圖中,空間正在以奇異性的速度向房屋速度$ \ sqrt {2GM/r} $移動,並且粒子也隨之一起移動。在相關的坐標圖中,在無限遠處自由落下的粒子具有零點坐標速度,用$ \ mathrm {d} r/\ mathrm {d} t = 0 $,其中$ r $是Lemaître徑向坐標。 (編輯:糾正的例子錯誤地將此屬性歸屬到GP圖表。)

您可以選擇任何在地平線上表現良好的坐標圖,任何這樣的圖表都會顯示它在地平線上移動而不會出現問題。但Schwarzschild坐標不會給出這樣的圖表,因為它們在地平線上未定義。

轉載註明原文: 相對論與牛頓萬有引力定律的矛盾?