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查找$ x \ sqrt {16-x ^ {2}} $的最大/最小值

該函數在通過原點時具有(-4,0),(4,0)的閉區間。

我很難找到函數的最大值和最小值,因為這個函數沒有獨立的常量。根據我的書,如果f'(x)在(c,f(c))處從負變為正,並且在(c,f(c))處從正變為負,則f具有相對最小值。

我計算了第一個導數為$ \ sqrt {16-x ^ {2}} - \ frac {x ^ {2}} {\ sqrt {16-x ^ {2}}} $,關鍵點為$ x = -4,0,4 $。我已經被教導要通過將臨界數插入f(x)來找到相對最大/最小值,但在這種情況下,零是唯一的輸出。

我遇到的另一個困難是這些計算需要給定間隔的數字。除了隨機選擇一個數字或測試每個可能性之外,當函數中沒有常數時,如何找到最小值/最大值?

最佳答案

I believe you have found the incorrect critical points. To find them, you set $f'(x)=0$, in this case, $$ \begin{align*} \sqrt{16-x^{2}} -\frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}=0 &\implies \sqrt{16-x^2}=\frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}} \\ &\implies 16-x^2=x^2 \\ &\implies x^2=8 \\ &\implies x=\pm 2\sqrt{2} \end{align*} $$ So your critical points are $x=-4,\pm 2\sqrt{2},4$, when you include the endpoints of your interval. Plugging back in, you find $f(4)=f(-4)=0$, and $f(2\sqrt{2})=8$ and $f(-2\sqrt{2})=-8$. From this you can conclude what the relative extrema are on your interval.

轉載註明原文: 查找$ x \ sqrt {16-x ^ {2}} $的最大/最小值