一千萬個為什麽

搜索

最小值和最大值

有五個實數$ a,b,c,d,e $這樣 $$ a + b + c + d + e = 7 $$$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2 = 10 $$ 我們如何找到任何一個數字的最大和最小可能值? Source

最佳答案

其中一個變量可以采用的最大值是$ \ frac {9} {5} $,最小值為$ 1 $。 這可以基於對稱性來論證如下(我希望我沒有忽略對稱論證中的任何東西)。 假設我們想要找到$ a $的極值。當$ a $達到極值時,通過對稱,其余變量必須相等。所以當$ a $取極值時,$ b = c = d = e $。 因此,$ a + 4b = 7 $和$ a ^ 2 + 4b ^ 2 = 10 $即$ a ^ 2 + 4(\ frac {7-a} {4})^ 2 = 10 $ 即$ a ^ 2 + \ frac {(a-7)^ 2} {4} = 10 $ ie $ 5a ^ 2 -14a + 49 = 40 $ ie $ 5a ^ 2 - 14a + 9 = 0 $。 因此,$(5a-9)(a-1)= 0 $。 因此,最小值為$ a = 1 $,最大值為$ a = \ frac {9} {5} $。 關於方法的回合是使用拉格朗日乘數技術並在7個未知數中設置7個方程並求解。

轉載註明原文: 最小值和最大值