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是否有類似於Beilinson猜想的系數動機?

關於混合泰特動機,動機上同調,代數K理論,L-函數的特殊值和多對數,有一種智慧(跟隨Beilinson,Bloch,Deligne,......)。我的理解是,對於平滑投影方案$ $ $ over $ \ mathbf {Q} $,以下持有或推測為:

Tate動機的某些外部力量組(基數改為$ X $)與$ X $的某些動機上同調群和$ X $的某些代數K群同構。 (我應該用$ \ mathbf {Q} $來強調所有這些群體。如果我們不這樣做,我相信會有更多的細微之處。)

如果不是#1中抽象動機的擴展,我們會看到實現類別中的擴展(Hodge結構,$ p $ -adic Galois表示,......),來自代數K-的映射#1中Ext組的組可以用多對數來具體描述,或者更確切地說是給定實現的多對數的適當版本。特別是,對於$ K_1 $,我們得到$ \ mathbf {Q} $的擴展名為$ \ mathbf {Q}(1)$由非零數字的對數描述。這或多或少是庫默的理論。

整數中$ X $的L函數消失的順序由這些組的等級決定。

現在,上面的所有內容都是關於$ \ mathbf {Q} $(或超過$ \ mathbf {Q} $的方案)以及$ \ mathbf {Q} $中的系數的動機。我的問題是: *如果我們考慮數字字段$ F $以及系數為$ F $的動機,是否有類似的圖片? 動機部分很簡單:我們應該看看與$ F $相關的代數Hecke字符相關的動機,而不是Tate動機,其值為$ F $。 (“Hecke動機”?)這些肯定與$ F $ - 線性等級$ 1 $的動機相同。然後我們可以考慮Ext組(在$ F $ -linear類別中)。這些與動機上同調或代數K群的$ F $ - 線性類似物是同構的嗎?這些圖是由多對數的類似物給出的,是否與L-函數的類似物有關系? 我有一個線索的唯一新案例是$ F $是第一類的虛構二次域。設$ E $是$ F $的橢圓曲線,復數乘以$ F $。然後有一個“Kummer地圖”從$ E(F)$到Galois上同調群$ H ^ 1(GF,Tl(E))$(對於任何素數$ l $),這可能被視為一個Ext一組兩個Hecke的動機(雖然我認為Weil-Châtelet阻礙地圖是一個同構?)。所以這表明在$ F $ -linear世界中,K-group $ K_1(L)= L ^ * $的角色,$ L $ $ $ mathbf {Q} $的延伸,將由$ E(L)$,$ L $,$ F $的延期。我知道Beilinson-Levin有一篇關於橢圓多對數的論文,但我還沒有投入精力來滲透它。不過,我沒有註意到有關復數乘法的任何內容。 這就是我得到的。有任何想法嗎? (所有這些實際上都是在一些白日夢中自然而然地出現在de Rham-Witt上同調和拓撲Hochschild同源性的$ F $ - 線性模擬中,所以我希望與現實有一些聯系。)

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