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數學中是否存在矛盾?

有人告訴我,數學有很多矛盾。

他說很多事情都沒有明確定義。

他告訴我兩件我不知道的事情。

  • $ 1 + 2 + 3 + 4 + ... = - 1/12 $
  • 什麽是無限$ \ infty $?

因為我不是數學專家而且很少。如何反駁前兩個?

我怎麽能說服他?

最佳答案

有人告訴我,數學有很多矛盾。

Correct mathematics does not, as far as we know. However, mathematicians amuse themselves with little "proofs" whose conclusion is absurd. The game is to identify the error. It's important because the "proofs" usually rely on errors that people often make by accident. Finding the error helps mathematicians avoid making the same error themselves.

可能最簡單的這樣的遊戲是$ 1 = 0 $的“證據”:

設$ x = 1 $和$ y = 0 $。然後$ x \ cdot y = y \ cdot y $。將雙方除以$ y $,$ x = y $。

錯誤當然是你不能將兩邊除以零並保持相等。這個教訓不是要劃分為0美元或者可能是0美元的東西。在一個更復雜的證據中,可能需要一些工作才能證明你想要實際劃分的東西絕不是$ 0 $,或者如果它可以是$ 0 $來考慮它與它不是的情況分開的情況。

有時這個遊戲變得更加嚴肅。有一種東西現在被稱為“天真集理論”,基本上說,“你能描述的任何集合集合都是一組”。這允許我們考慮諸如“所有集合的集合”和“作為其自身元素的所有集合的集合”之類的事物。當然,“所有集合的集合”本身就是一個要素。空集不是其自身的元素(沒有集是空集的元素,這是空的意思)。那麽,如果我將S定義為“不是自身元素的所有集合的集合”,該怎麽辦?

噢親愛的。現在我們有一個矛盾。 S是否是S的元素?如果是,那麽它必須滿足定義。但根據定義,S中的任何東西都不是其自身的元素。而“本身”就是S.可以說,如果它是一個元素,那麽它就不是。如果它不是S的元素,那麽根據定義它 是它自身的一個元素。因此,如果它不是一個元素那麽它就是。

這告訴數學家的是,現在所謂的“天真集理論”,只是定義你喜歡的任何舊東西,都不夠好。這被稱為拉塞爾的悖論,因為伯特蘭羅素首先發表了它。 Ernst Zermelo此前曾發現它,但未發表。 Russell和Zermelo都著手構建以下系統:

  • 允許數學家需要的所有東西來處理集合(實際上Russell使用的是“類型理論”而不是“集合論”,但我認為這種解釋並不重要。)/LI>
  • 通過限制允許定義集合的方式來防止發生悖論。

您可以合理地爭辯說,在此活動之前,數學確實包含矛盾。幸運的是,這種方式並不重要,因為事實上並沒有任何真正重要的結果無法帶入更安全的基礎。但由於這個原因和其他原因,我們不能肯定地說沒有矛盾,只有我們所知道的並且沒有處理過。

這可能聽起來像數學中的可怕危機,發現“數學”是矛盾的。在某種意義上,這是一場危機,因為它需要對人們的一些基本假設和直覺進行大量的重新檢查。這不是一場災難,因為當時的集合理論已經存在了不到50年,並且所有矛盾說的是集合理論不是很正確並且需要改進。當時所做的大部分數學都沒有對這種有缺陷的集理論產生任何特別的吸引力。

您也可以將其視為一種擴展且令人驚訝的“矛盾證明”。矛盾的證明說:

  • 假設X為真
  • 推斷出一個矛盾
  • 斷定X不是真的

集理論家:

  • 構建了集合理論
  • 推斷出矛盾
  • 得出結論,這套理論並不合適

因此,數學確實“涉及”許多矛盾,因為你看到的很多證據都會以一個為結尾。並不意味著它“包含”它們:-)

他說很多事情都沒有明確定義。

這在一定程度上是有爭議的。在數學中,幾乎所有東西都是定義的,但一個有趣的問題是它的定義是什麽。數學基礎是數學中的一門大課程。

1 + 2 + 3 + 4 + ... = - 1/12

不是這樣,但你可以通過各種方式讓它為真。這是我上面提到的那些娛樂活動之一。

鑒於系列不同,您可以執行一些不正確但看似合理的操作,導致它看起來有任何你想要的總數。 AFAIK特別選擇 -1/12 的原始歷史原因是 1 + 2 + 3 + 4 + ...的發散Dirichlet系列-1-1/12-1 的Riemann zeta函數。現在,當Dirichlet級數收斂於特定值時,它等於zeta函數。事實上,zeta函數可以定義為那些收斂Dirichlet級數的“解析延續”。這意味著它只是 函數,它等於收斂的Dirichlet系列,並且還有另一個稱為“全純態”的特殊屬性。

但是 -1 的Dirichlet系列並沒有收斂,正如我所說的那樣,開始時它是不同的。所以 -1/12 是一個重要且有趣的函數的值,它與一些Dirichlet系列重合,但不是這個沒有值的Dirichlet系列。所以你可以稱之為“Dirichlet系列的價值”,但事實並非如此。沒有矛盾。

什麽是無限∞?

由於你沒有經過數學訓練,所以不能指望你在數學上知道無限“是”。除了“無限”的概念在英語中有點神秘之外,你的朋友已經問過你一個關於數學常識的不公平問題。他不妨問你Riemann zeta函數是什麽,或者度量空間的定義,如果你從未研究過這些東西那麽你就是不知道。

在數學中,你通過定義非常嚴格的規則來處理無窮大的概念,然後遵循它們。在不同的語境中,數學家將以不同的方式定義“無限”。因此,您應該將∞視為一個符號,用於表示在其他地方定義的某些特定事物(希望使用它的人可以告訴您在哪裏)。每次在不同的地方使用它並不一定意味著同樣的事情。

回到這個主題,“數學的基礎”,關於如何考慮自然數0,1,2,3 ......的無窮大,有很多有趣的工作。此外,數學家是否“應該”考慮是否有趣的工作無窮大作為一個數量。由於它的基礎,這項工作原則上可以影響所有的數學,實際上大多數數學領域都可以選擇他們需要的“無限”版本(如果有的話)並堅持下去。

如何反駁前兩個?

我可以想到幾種可能性:

  • 你的朋友對數學基礎有真正的疑問。這很好,但作為一名非數學專家,你不會處理他的擔憂。把他推薦給一位數學家,他會讓他更清楚地知道他的顧慮是什麽:他覺得什麽不明確?他是如何得出他的矛盾的?

  • 你的朋友遇到了一些他並不完全明白的事情,並得出結論認為這是不明確和矛盾的。這是一種自然的反應,但在數學的情況下,有一種解毒劑,就是要問關於數學基礎的真正問題。見上文。

  • 你的朋友正在搞亂你。由於他沒有向你提供他所說的內容的證據,因此沒有必要找到特定的錯誤。就像他說的那樣,“英語包含很多矛盾。例如,'red'這個詞的意思是'橙色'”。首先,不,它沒有,它意味著不同的東西,你可以忽略他(和1 + 2 + 3 + 4 + ...的總和不是-1/12,該系列沒有一個總和)。但其次,好吧,在某些情況下,實際上確實意味著有趣的歷史原因。實際上,“橙色”這個詞在某些橙色的東西已被命名為“紅色”之後很久就進入了英語,例如紅頭發,紅色風箏和知更鳥的紅色乳房。但這不是一個矛盾(在Dirichlet系列和Riemann zeta函數的背景下,-1/12在一個奇怪的意義上是1 + 2 + 3 + 4 +的總和......)如果它收斂了“)。

轉載註明原文: 數學中是否存在矛盾?