我必須在矩形$ [0,2 \ pi] \ times [0,2 \ pi] $上找到$$ f（x，y）= \ sin x + \ cos y $$的絕對最大值和最小值。

我做了以下事情：

$$ \ nabla f =（\ cos x， - \ sin y）$$

$$ \ nabla f = 0 \ Rightarrow \ cos x = 0 \ text {和} - \ sin y = 0 \ Rightarrow x = \ frac {\ pi} {2}，\ frac {3 \ pi} {2} \ text {和} y = 0，\ pi，2 \ pi $$

關鍵點是$$ \ left（\ frac {\ pi} {2}，0 \ right），\ left（\ frac {\ pi} {2}，\ pi \ right），\ left（\ frac {\ pi} {2}，2 \ pi \ right），\ left（\ frac {3 \ pi} {2}，0 \ right），\ left（\ frac {3 \ pi} {2}，\ pi \ right ），\ left（\ frac {3 \ pi} {2}，2 \ pi \ right）$$

第二個衍生物是：

$$ \ frac {\ partial ^ 2 {f}} {\ partial {x ^ 2}} = - \ sin x \ \，\ \ \ frac {\ partial ^ 2 {f}} {\ partial {y ^ 2 }} = - \ cos y \ \，\ \ \ frac {\ partial ^ 2 {f}} {\ partial {x} \ partial {y}} = 0 $$

• $$\left (\frac{\pi}{2}, 0\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{\pi}{2}, 0\right )=-1<0$$
• $$\left (\frac{\pi}{2}, \pi\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{\pi}{2}, \pi\right )=-1<0$$
• $$\left (\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right )=-1<0$$
• $$\left (\frac{3\pi}{2}, 0\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=1>0 \\ D=(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}})(\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}})-(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}})^2=-1<0$$
• $$\left (\frac{3\pi}{2}, \pi\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{3\pi}{2}, \pi\right )=1>0 \\ D=(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}})(\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}})-(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}})^2=1>0 \Rightarrow \left (\frac{3\pi}{2}, \pi\right ) \text{ is a local minima } $$
• $$\left (\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right )=1>0 \\ D=(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}})(\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}})-(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}})^2=1>0 \Rightarrow \left (\frac{3\pi}{2}, 0\right ) \text{ is a local minima }$$

這意味著$ f $的最小值是$$ f \ left（\ frac {3 \ pi} {2}，0 \ right）= f \ left（\ frac {3 \ pi} {2}，2 \ pi \ right）= 0 $$

它是否正確？？

$$$$

EDIT1:

我們必須執行以下步驟：

1. 在$ U $中查找$ f $的所有關鍵點。
2. 當我們將其視為僅在$ \ partial U $中定義的函數時，找到$ f $的關鍵點。
3. 計算所有關鍵點的$ f $值。
4. 比較所有這些值並選擇最大值和最小值。

$ U $是開放的矩形。我們怎麽做第二步呢？

$$$$

EDIT2:

第一步：

$$ \ nabla f =（\ cos x， - \ sin y）$$

$ U =（0,2 \ pi）\ times（0,2 \ pi）$

$$ \ nabla f = 0 \ Rightarrow \ cos x = 0 \ text {和} - \ sin y = 0 \ Rightarrow x = \ frac {\ pi} {2}，\ frac {3 \ pi} {2} \ text {和} y = \ pi $$

$ U $中的關鍵點是$$ \ left（\ frac {\ pi} {2}，\ pi \ right），\ left（\ frac {3 \ pi} {2}，\ pi \ right）$$

第二步：

我們是否認為$ x $和$ y $只能取值$ 0 $和$ 2 \ pi $ ??

我必須在矩形$ [ - 1,1] \ times [-1,1] $上找到$$ f（x，y）= xy $$的絕對最大值和最小值。

我做了以下事情：

我們必須執行以下步驟：

1. 在$ U =（ - 1,1）\ times（-1,1）$中查找$ f $的所有關鍵點。
2. 當我們將其視為僅在$ \ partial U $中定義的函數時，找到$ f $的關鍵點。
3. 計算所有關鍵點的$ f $值。
4. 比較所有這些值並選擇最大值和最小值。

First step:

$$ \ nabla f =（y，x）$$

$$ \ nabla f = 0 \ Rightarrow y = 0 \ text {和} x = 0 $$

$ U $中唯一的關鍵點是$$（0,0）$$

Second step:

$\partial U=A\cup B\cup C\cup D$ with \begin{eqnarray*} A &=&\left\{ (x,-1):-1\leq x\leq 1 \right\} \\ B &=&\left\{ (1 ,y):-1\leq y\leq 1 \right\} \\ C &=&\left\{ (x,1 ):-1\leq x\leq 1 \right\} \\ D &=&\left\{ (-1,y):-1\leq y\leq 1 \right\} . \end{eqnarray*}

$$ A：f（x，-1）= - x = g（x）\\ g'（x）= 0 \ Rightarrow -1 = 0 $$ $$ B：f（1，y）= y = g（y）\\ g'（y）= 0 \ Rightarrow 1 = 0 $$ $$ C：f（x，1）= x = g（x）\\ g'（x）= 0 \ Rightarrow 1 = 0 $$ $$ D：f（-1，y）= - y = g（y）\\ g'（y）= 0 \ Rightarrow -1 = 0 $$ 這意味著邊界$ \ partial {U} $上沒有關鍵點。

Third step:

臨界點$（0,0）$的$ f $值是$ f（0,0）= 0 $。

到目前為止是否正確？

Forth step:

如果只有一個臨界點，$ f $如何具有絕對最大值和最小值？或者我做錯了什麽？