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找到$ f $的絕對最大值和最小值

我必須在矩形$ [0,2 \ pi] \ times [0,2 \ pi] $上找到$$ f(x,y)= \ sin x + \ cos y $$的絕對最大值和最小值。

我做了以下事情:

$$ \ nabla f =(\ cos x, - \ sin y)$$

$$ \ nabla f = 0 \ Rightarrow \ cos x = 0 \ text {和} - \ sin y = 0 \ Rightarrow x = \ frac {\ pi} {2},\ frac {3 \ pi} {2} \ text {和} y = 0,\ pi,2 \ pi $$

關鍵點是$$ \ left(\ frac {\ pi} {2},0 \ right),\ left(\ frac {\ pi} {2},\ pi \ right),\ left(\ frac {\ pi} {2},2 \ pi \ right),\ left(\ frac {3 \ pi} {2},0 \ right),\ left(\ frac {3 \ pi} {2},\ pi \ right ),\ left(\ frac {3 \ pi} {2},2 \ pi \ right)$$

第二個衍生物是:

$$ \ frac {\ partial ^ 2 {f}} {\ partial {x ^ 2}} = - \ sin x \ \,\ \ \ frac {\ partial ^ 2 {f}} {\ partial {y ^ 2 }} = - \ cos y \ \,\ \ \ frac {\ partial ^ 2 {f}} {\ partial {x} \ partial {y}} = 0 $$

  • $$\left (\frac{\pi}{2}, 0\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{\pi}{2}, 0\right )=-1<0$$
  • $$\left (\frac{\pi}{2}, \pi\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{\pi}{2}, \pi\right )=-1<0$$
  • $$\left (\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right )=-1<0$$
  • $$\left (\frac{3\pi}{2}, 0\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=1>0 \\ D=(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}})(\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}})-(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}})^2=-1<0$$
  • $$\left (\frac{3\pi}{2}, \pi\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{3\pi}{2}, \pi\right )=1>0 \\ D=(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}})(\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}})-(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}})^2=1>0 \Rightarrow \left (\frac{3\pi}{2}, \pi\right ) \text{ is a local minima } $$
  • $$\left (\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right ): \ \ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left (\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right )=1>0 \\ D=(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}})(\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}})-(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}})^2=1>0 \Rightarrow \left (\frac{3\pi}{2}, 0\right ) \text{ is a local minima }$$

這意味著$ f $的最小值是$$ f \ left(\ frac {3 \ pi} {2},0 \ right)= f \ left(\ frac {3 \ pi} {2},2 \ pi \ right)= 0 $$

它是否正確??

$$$$

EDIT1:

我們必須執行以下步驟:

  1. 在$ U $中查找$ f $的所有關鍵點。
  2. 當我們將其視為僅在$ \ partial U $中定義的函數時,找到$ f $的關鍵點。
  3. 計算所有關鍵點的$ f $值。
  4. 比較所有這些值並選擇最大值和最小值。

$ U $是開放的矩形。我們怎麽做第二步呢?

$$$$

EDIT2:

第一步:

$$ \ nabla f =(\ cos x, - \ sin y)$$

$ U =(0,2 \ pi)\ times(0,2 \ pi)$

$$ \ nabla f = 0 \ Rightarrow \ cos x = 0 \ text {和} - \ sin y = 0 \ Rightarrow x = \ frac {\ pi} {2},\ frac {3 \ pi} {2} \ text {和} y = \ pi $$

$ U $中的關鍵點是$$ \ left(\ frac {\ pi} {2},\ pi \ right),\ left(\ frac {3 \ pi} {2},\ pi \ right)$$

第二步:

我們是否認為$ x $和$ y $只能取值$ 0 $和$ 2 \ pi $ ??


我必須在矩形$ [ - 1,1] \ times [-1,1] $上找到$$ f(x,y)= xy $$的絕對最大值和最小值。

我做了以下事情:

我們必須執行以下步驟:

  1. 在$ U =( - 1,1)\ times(-1,1)$中查找$ f $的所有關鍵點。
  2. 當我們將其視為僅在$ \ partial U $中定義的函數時,找到$ f $的關鍵點。
  3. 計算所有關鍵點的$ f $值。
  4. 比較所有這些值並選擇最大值和最小值。

First step:

$$ \ nabla f =(y,x)$$

$$ \ nabla f = 0 \ Rightarrow y = 0 \ text {和} x = 0 $$

$ U $中唯一的關鍵點是$$(0,0)$$

Second step:

$\partial U=A\cup B\cup C\cup D$ with \begin{eqnarray*} A &=&\left\{ (x,-1):-1\leq x\leq 1 \right\} \\ B &=&\left\{ (1 ,y):-1\leq y\leq 1 \right\} \\ C &=&\left\{ (x,1 ):-1\leq x\leq 1 \right\} \\ D &=&\left\{ (-1,y):-1\leq y\leq 1 \right\} . \end{eqnarray*}

$$ A:f(x,-1)= - x = g(x)\\ g'(x)= 0 \ Rightarrow -1 = 0 $$ $$ B:f(1,y)= y = g(y)\\ g'(y)= 0 \ Rightarrow 1 = 0 $$ $$ C:f(x,1)= x = g(x)\\ g'(x)= 0 \ Rightarrow 1 = 0 $$ $$ D:f(-1,y)= - y = g(y)\\ g'(y)= 0 \ Rightarrow -1 = 0 $$ 這意味著邊界$ \ partial {U} $上沒有關鍵點。

Third step:

臨界點$(0,0)$的$ f $值是$ f(0,0)= 0 $。

到目前為止是否正確?

Forth step:

如果只有一個臨界點,$ f $如何具有絕對最大值和最小值?或者我做錯了什麽?

最佳答案

我將提供一個更直觀的方法來解決這個問題。

在閉合區間[0,2pi]上設f(x)= sin(x),然後在x = pi/2時最大f(x)= 1

類似地,讓f(x)= cos(x)在閉區間[0,2pi],然後max f(x)= 1在x = 0和2pi

現在考慮f(x,y)= sin(x)+ cos(y)。現在不明顯,max(x,y)必須在(pi/2,0),(pi/2,2pi)處等於2。

所以在閉區間[0,2pi]上有兩個局部最大值,所有這些都給出f(x,y)= 2

類似地,對於x = 3/2pi,在閉合區間[0,2pi]上sin(x)= -1。 對於x = pi,[0,2pi]上的cos(x)= -1

因此,[0,2pi] at(3/2pi,pi)有一個局部最小值,導致f(x,y)= - 2

轉載註明原文: 找到$ f $的絕對最大值和最小值