一千萬個為什麽

搜索

將Black-Scholes公式推導為期權支付的預期值

我的問題涉及Black-Scholes關於歐式期權價值的公式,即

\begin{align} C(S_t, t) &= N(d_1)S_t - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S_t}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}

首先,我想忽略這個問題的目的,使用Black-Scholes PDE動態套期保值論證推導出這個公式,我沒有詳細說明,但我原則上理解。相反,我希望有人向我解釋為什麽下面的論證導致我(略微)不同於上面的答案,這是錯誤的。

Black-Scholes股票走勢模型假設股票價格在一小段時間內變化$ \ Delta S $ $ \ Delta t $表現為

$ \ Delta S = \ mu S \ Delta t + \ sigma \ sqrt {\ Delta t} \ varepsilon S $

其中$ \ mu = \ text {漂移率} $,$ \ sigma = \ text {volatility} $(常數),$ \ varepsilon $是一個公平的硬幣翻轉,產生$ 1 $和$ -1 $(我更喜歡這個對於隨機的增量方程,我不是伊藤的引理和所有那些)。然後$ S $ $,$ T $時的股票價格(固定$ \ Delta t $)隨機變量

$ S_T = S_0 \ left(1+ \ mu \ Delta t + \ sigma \ sqrt {\ Delta t} \ right)^ X \ left(1+ \ mu \ Delta t - \ sigma \ sqrt {\ Delta t} \右)^ {NX} $

其中$ X $是二項式R.V.從硬幣翻轉計算$ 1 $的數量,$ N = T/\ Delta t $。使用$ X $的正常近似值並讓$ \ Delta t \ rightarrow 0 $得到我們

$ S_T = S_0 e ^ {(\ mu-\ sigma ^ 2/2)T} e ^ {\ sigma \ sqrt {T} Z} $

其中$ Z $是標準正常(或者我們可以用動態模型的布朗運動$ W $替換$ \ sqrt {T} Z $)。

現在,歐元期權對該股票的執行價格為K $以及到期時間$ T $的公允價值是多少?那麽,這種期權的賣方平均需要在到期時支付

$ E [\ text {max}(S_T - K,0)] $

也就是說,期權支付的預期價值。因此,為了對今天的價格進行定價,可以通過無風險利率對這一預期支出進行折扣:

$ e ^ { - rT} E [\ text {max}(S_T - K,0)] $

但是,根據Black-Scholes公式的開頭,這是錯誤的。我會省去你的計算,但事實上,只有當我們將模型$ S_T $改為時,這個計算才會返回正確的Black-Scholes公式。

$ S_T = S_0 e ^ {(r- \ sigma ^ 2/2)T} e ^ {\ sigma \ sqrt {T} Z} $

也就是說,通過替換$ \ mu $,股票的漂移率,到$ r $,無風險利率。所以我的問題是,為什麽我們這樣做是有道理的?為了這個計算的目的,為什麽可以“假裝”股票的漂移率是$ r $,當它很可能不在現實生活中時呢?

關於我的計算,我想到了兩個異議。首先,它假設估價期權的人只關心其預期的支付,而不是支付的波動性,因為股票本身的波動性(即它假設風險中性,可能不是這種情況)。盡管如此,如果某人出售足夠的這些期權(在相同但獨立的股票上)以獲得平均法則,那麽這將是一個正確的估值。其次,這似乎並不是實際計算期權的市場價值,而只是計算賣方的預期成本。也就是說,賣方的預期成本可能與買方的價值不完全相同。但是,如果有人以不同於此價格的價格提供期權,則存在明顯的(統計性)套利機會(對於具有足夠儲備以應對支付波動性的市場參與者而言)。

我對你對這些異議的看法感興趣。但我的大問題仍然是:為什麽用$ r $替換$ \ mu $會導致我們使用正確的公式,當$ \ mu $和$ r $幾乎永遠不相等?謝謝你的幫助。

最佳答案

當你假設期權的價格是,你犯了一個關鍵的錯誤 $$ C = e ^ { - rT} E ^ {\ mathbb {P}} [(S_T-K)^ +] $$也就是說,資產的價格不是打折的(使用風險) - 免費費率)物理衡量下的收益$ \ mathbb {P} $。另一方面,以下兩個陳述是正確的: $$ C = E ^ {\ mathbb {P}} \左[\壓裂{\ xi_T} {\ xi_0}(S_T-K)^ + \權利] $$ $$ C = E ^ { - } rT的E 1 {\ mathbb {Q}} [(S_T-K)^ +] $$ 其中$ \ xi_t $是州價格密度,即隨機過程$ \ xi_t $,其中任何資產$ \ xi_t S_ {it} $的產品是$ \ mathbb {P} $ - 鞅,或$ \ mathbb {Q} $是風險中性指標,任何資產都漂移$ r $,即任何資產都遵循以下SDE $$ \ frac {dS_ {it}} {S_ {it}} = rdt + \ sigma dZ ^ \ mathbb {Q} $$。

在我看來,顯示Black-Scholes遵循的最簡單的方法是解決相同的積分,註意在$ \ mathbb {Q} $下股票價格是$ S_T = S_0 e ^ {(r- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2)T + \ sigma \ sqrt {T} Z} $。或者,您可以顯示SPD遵循$ \ frac {d \ xi} {\ xi} = - rdt- \ frac {\ mu-r} {\ sigma} dZ ^ {\ mathbb {P}} $,使用Ito的$ f(t,S,\ xi)= S \ xi $的引理並再次獲得相同的結果。

轉載註明原文: 將Black-Scholes公式推導為期權支付的預期值