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如果“All S is P”為真,那麽它是否與“No non-S is non P”相矛盾?

我在邏輯教科書中遇到一個問題,經過多次嘗試後我無法弄清楚。

假設我們假設“All S is P”是真的。

這是否允許我們得出“No Non-S is Non-P”的真值,其中non-X是X的互補類。

教科書的答案是無法確定真值。但是,我似乎能夠證明這種說法是錯誤的。我是這樣做的:

  1. If "All S is P" is true, it is also true that S refers to a collection of objects that is smaller than or equal to the collection of objects referred to by P.
  2. If S<=P, then No Non-P can be S.
  3. All Non-P must therefore be Non-S.
  4. By subalternation, since All Non-P is Non-S, there must be some Non-P that is Non-S.
  5. If there is some Non-P that is Non-S, then there is some Non-S that is Non-P.
  6. If there is some Non-S is Non-P, then the statement "No Non-S is Non-P" must necessarily be false, because it is contradictory with the former statement, which has been arrived at via valid inferences from true premises and must therefore be true.

然而,當我在維恩圖上繪制“All S is P”時,有一種情況是P指的是ALL對象的集合,這意味著Non-P不存在,因此所有Non-S必須是P這承認了一個罕見的情況,即該陳述成立,因此該陳述的真值不確定。

這兩種推理似乎都是正確的,但卻相互矛盾。什麽地方出了錯?

最佳答案

從“傳統”的觀點來看,你是對的。

問題在於存在導入。 wikipedia.org/wiki/Categorical_proposition"rel =“nofollow”>分類命題:

如果一個陳述包含一個術語,如果該術語沒有實例,則該陳述為假,則該陳述據說對該術語具有存在性導入。如果沒有As,是否將“All A is B”形式的通用陳述視為真,假,甚至無意義,這是不明確的。

傳統的三段論中,從“All S are P”到“Some S are P”的推斷(< em> subalternation )通過假設存在Ss(以及Ps)來獲得許可。

在現代邏輯中,雖然(通常)正確的是“For all x Px”意味著“Some x is Px”,但分類命題的現代翻譯是:“對於所有x(如果Sx,則Px)”,即當沒有 Ss時也是如此,因此我們無法正確推斷:“有一些x(Sx和Px)”。


形式上:

∀x(Sx→Px)

相當於:

¬∃x(Sx & ¬Px)

反過來又是:

∀x(¬Px→¬Sx) [步驟1-3]。

現在我們有 subalternation [步驟4]:

∃x(¬Px & ¬Sx)

從現代的角度來看,這是不正確的。

考慮你的陳述:

“如果 P 指的是所有對象的集合,則表示非P 不存在”;

thus, ∃x(¬Px & ¬Sx) is false: there are no non-Ps, while ∀x(¬Px → ¬Sx) is vacuously true.

This means that, for modern logic, the inference from: ∀x(¬Px → ¬Sx) to ∃x(¬Px & ¬Sx) is not valid.

This does not mean that ∃x(¬Px & ¬Sx) is always false: if S stay for "Fishes" and P for "Water_living", we have that "All Fishes are Water_living" is true, and thus also "All non-Water_living" are non-Fishes" [steps 1-3].

但這並不與“有一些非水的生命”是 true 的事實相矛盾。

這是教科書答案的關鍵:

    

有效參數是形成 true 前提的參數 true 結論。

  

對於現代邏輯,subalternternation無效;但這並不意味著結論總是 false

轉載註明原文: 如果“All S is P”為真,那麽它是否與“No non-S is non P”相矛盾?