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在一個矛盾的證明中,如果命題及其否定導致矛盾怎麽辦?

我正在學習數學。 我最近更多地考慮了矛盾技術的證明,我有一個問題,我想清理一下。讓我踏上舞臺。 假設我試圖證明一個定理。 定理:如果A和$ \ neg $ B,那麽$ \ neg $ C. 證明(矛盾):讓我們假設A是真的並且$ \ neg $ B是真的。我們假設C為真($ \ neg $ C為假)。 [等等等等等等] 由此我們得出一個矛盾,因為我們看到B是真的($ \ neg $ B是假的),但我們知道$ \ neg $ B是真的(因為我們認為它是真的)。因此,既然假設C為真導致我們矛盾,則必須是C為假的情況($ \ neg $ C為真)。 QED。 My issue with this: why is it that C leading to a contradiction must mean that $\neg$C is true? What if $\neg$C also leads to a contradiction? In that case, doesn't a proof by contradiction not prove anything? Why can we be sure that C leading to a contradiction must mean that $\neg$C doesn't lead to a contradiction?

如果已經提出這個問題,我很抱歉。在詢問是否有人有同樣的具體問題之前我搜索了一下,但大多數結果只是問為什麽矛盾證明一般沒有任何明確的問題。

最佳答案

如果$ C $和$ \ neg C $都導致矛盾,那麽你必須使用一組不一致的假設...從中可以推斷出任何東西......包括$ \ neg C $。因此,假設$ C $導致矛盾,仍然可以得出$ \ neg C $。 因此,無論$ \ neg C $是否也會導致矛盾或是否存在矛盾,我們可以在假設$ C $導致矛盾時得出$ \ neg C $。

要記住的是,當我們在邏輯上說我們可以“結束”某些東西時,我們的意思是某些東西跟隨這些假設......並不是說事實上是真的。我認為這是你困惑的根源。你似乎在說:“好吧,如果$ C $導致矛盾,那麽我們想說$ \ neg C $是真的......但是等等!如果$ \ neg C $導致矛盾怎麽辦? ..這不是說$ \ neg C $也不是真的嗎?那麽,我們怎麽能說$ \ neg C $是真的?!“。但這不是$ \ neg C $是真的......只是它從邏輯上遵循假設。那就是:如果這些假設都是真的,那麽$ \ neg C $也是如此。好吧,是嗎? ..是嗎?有趣的是,作為邏輯學家,我們並不在乎:)

轉載註明原文: 在一個矛盾的證明中,如果命題及其否定導致矛盾怎麽辦?