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關於Black-Scholes-Merton PDE的邊界條件

當我讀到Steven E.Shreve的“隨機微積分金融II”一書時,我對Black-Scholes PDE對歐洲看漲期權的解決方案提出了疑問。

如果當時的股票價格是$ S(t)= x $,那麽$ c(t,x)$是$ t $時歐式看漲期權的價值。然後,$ c(t,x)$滿足以下等式: $$ c_t(t,x)+ rx c_x(t,x)+ \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 x ^ 2 c_ {xx}(t,x)= rc(t,x)\ text {對於所有$ t \ in [0,T),x \ geq 0 $},$$ 和$ c(T,x)=(x-K)^ {+}。$

要解決上述等式,需要$ x = 0 $和$ x = + \ infty $的邊界條件。對於$ x = 0 $。對於[0,T] $中的所有$ t \,很容易推導出$ c(t,0)= 0 $。

由於$ x = + \ infty $,我不知道作者如何發現(沒有詳細解釋)(參見該書第158頁) $$ \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} c(t,x) - (x-e ^ { - r(Tt)} K)= 0 \ text {對於所有$ t \ in [0,T] $ }?$$

最佳答案

用語言表示,當股票價格非常高時,看漲期權的價值(大約)等於股票價格減去演習的PV。這是相當直觀的:如果K = 100且x是1000,那麽股票的價格遠高於K,那麽所有實際操作都是一定的;今天的呼叫價值x減去PV(k),因為今天你可以預留PV(K)來成熟。所以這是一個套利論證。

這個等式有時被稱為歐洲呼叫價值的深度資金約束。

轉載註明原文: 關於Black-Scholes-Merton PDE的邊界條件