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修正Black-Scholes方程的解析解

最近,提出了改進的Black-Scholes方程(),亦即

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請考慮一下這個案子

$$ \ sigma \ left(S,t \ right)= \ sigma \,{S} ^ {k/2} $$

以及歐洲看跌期權

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使用Maple我根據相關的Laguerre多項式得到以下解析解

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此類解決方案可與Maple一起使用,以計算歐洲看跌期權的許多實例的價格。 例如,當$ k = 3 $解決方案是(請右鍵單擊圖像放大)

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並考慮我們系列中的前三個術語(請右鍵單擊圖像放大)

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一個數值例子。請考慮以下參數值 $$ S = 100,K = 95,T = 90/365,r = 4/100,\ sigma = 0.5; $$

使用標準的Black-Scholes公式,看跌期權的價格是6.9082美元;並且在系列中使用我的公式與$ 300 $條款,看跌期權的價格是$ 70.51873101 $。假設標準的Black-Scholes公式低估了看跌期權的價格且我的公式高估了看跌期權的價格,則可以將看跌期權的價格固定在兩個結果之間的簡單平均值附近,即$ 38.5 $ 。

我的問題是:

  1. 我聲稱這種解決方案是新的。你同意嗎?

  2. 我聲稱這種解決方案可能在計算金融方面具有重要的應用。你同意嗎?

最佳答案

對於此類期權定價公式,我們行業中的術語是系列解決方案。正如Farahvartish在評論中指出的那樣,由於依賴於實際數值輸出的收斂無窮和,因此系列解決方案不被視為“分析解決方案”。(*)

至少從20世紀90年代開始采用系列解決方案,當時它們與反射原理一起用於估算具有敲除特征的選項的價格。

更具體的情況,本文也提供了一系列選項解決方案價格波動取決於資產水平。雖然它使用Hermite多項式而不是Laguerre,但它比上面的公式更通用。在其中,Xiu允許$ \ sigma(S)$為任何其倒數為Lebesgue可積的函數。

(註意:我沒有檢查你的結果或Xiu論文的正確性)

(*)我可以補充一點,關於系列解決方案與解析解的態度在實踐中邏輯上是不一致的,因為標準高斯的累積分布函數$ N(\ cdot)$是在勒讓德多項式的一系列展開中數值得到的。

轉載註明原文: 修正Black-Scholes方程的解析解