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使用拉普拉斯變換求解Black-Scholes PDE

我試圖獲得Call選項價格的拉普拉斯變換,並考慮到CEV過程下的成熟時間。

眾所周知的Black scholes PDE由 $$ \ frac {1} {2} \ sigma(x)^ 2x ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} C(x,\ tau)+ \ mu x \ frac {\ partial} { \ partial x} C(x,\ tau)-rC(x,\ tau) - \ frac {\ partial} {\ partial \ tau} C(x,\ tau)= 0。 $$ 其中初始條件$ C(x,0)= max(x-K,0)$和$ \ sigma(x)= \ delta x ^ \ beta $。

對$ \ tau $進行拉普拉斯變換,我們得到以下ODE: $$ \ frac {1} {2} \ delta x ^ {2 \ beta + 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} \ hat {C}(x,\ lambda)+ \ mu x \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {C}(x,\ lambda) - (\ lambda + r)\ hat {C}(x,\ lambda)= - max(xK,0)。 $$ 其中$ \ hat {C}(x,\ lambda)= \ int_0 ^ \ infty e ^ { - \ lambda \ tau} C(x,\ tau)d \ tau $

並將初始條件轉換為 $$ \ hat {C}(x,\ lambda)= \ int_0 ^ \ infty e ^ { - \ lambda \ tau} C(x,0)d \ tau = max(x-K,0)/ \ lambda $$(這是對的???似乎錯了..)

Then, $\hat{C}(x,\lambda)$ can be analytically formulated by the case $x>K$ and $x\leq K$.

如何獲得$ \ hat {C}(x,\ tau)$的顯式公式?我不能從這個階段開始。

我知道一篇論文,“(2001年德米特裏)CEV下的定價和對沖路徑依賴選項”,與這個問題有關。然而,我很容易理解。你能一步一步地解釋一下嗎?

最佳答案

The following paper gives you really all of the missing steps in a very detailed form:

Black-Scholes Option Pricing Formula by Michael Tomas and Ravi Shukla

From the paper:

“這個演示純粹是為了教學目的。在做工作的過程中 期權定價,我們沒有找到Black-Scholes模型的完整解決方案。完成後,我們的意思是從隨機過程的假設到閉合形式的 Black-Scholes模型具有顯著的代數步驟供讀者遵循。許多 文本從隨機過程推導出偏微分方程,然後得到 封閉形式解決方案的一個飛躍。 [一個文字顯示]基於該方法的步驟 拉普拉斯變換[...]在這裏,我們提出了完整的解決方案,填寫了所有必要的代數細節。“

轉載註明原文: 使用拉普拉斯變換求解Black-Scholes PDE