# 一千萬個為什麽

## 為什麽各向同性1/4的泊松比和最大值1/2（沒有凈體積變化時）？

-lets說你有一個正交的平行六面體，通過應力 - 應變測試拉緊。 （在長軸或z方向上）。

• 側面為5mm和4mm，軸向長度為7mm。

- 試驗已經拉長，直到試樣的軸向長度為11毫米，假設4毫米的側面沒有變化。

So the original volume was 4x5x7= 140 mm^3 and since there is no net volume change the final length of the lateral side that did change has to be: 140= a x 11 x 4 -> a= 35/11 mm

-> Ex = (35/11 -5)/5= -4/11 and Ez= (11-7)/7= 4/7

v= 4/11 : 4/7 = 7/11 = 0.64 > 0.5

## 最佳答案

$$\ epsilon_x = \壓裂{\ sigma_x} {E}$$ $$\ epsilon_y = - \ NU \壓裂{\ sigma_x} {E}$$ $$\ epsilon_z = - \ NU \壓裂{\ sigma_x} {E}$$

$$X'= X（1 + \ epsilon_x）$$ $$Y'= Y（1- \ NU \ epsilon_x）$$ $$Z'= Z（1- \ NU \ epsilon_x）$$

$$V'= x'\，y'\，z'= x \，y \，z \，（1 + \ epsilon_x）（1- \ nu \ epsilon_x）^ 2$$

$$\壓裂{V'} {V} =（1 + \ epsilon_x）（1- \ NU \ epsilon_x）^ 2 = 1 +（1-2 \ NU）\ epsilon_x +（\ NU ^ 2-2 \ NU） \ epsilon_x ^ 2 + \ NU ^ 2 \ epsilon_x ^ 3$$

$$V = V'$$

$$\begin{split}1=(1+\epsilon_x)(1+\epsilon_y)(1+\epsilon_z)=&1+ \\ & \epsilon_x+\epsilon_y+\epsilon_z + \\ & \epsilon_x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_x \epsilon_z + \\ & \epsilon_x \epsilon_y \epsilon_z \end{split}$$

$$0 = \ epsilon_x + \ epsilon_y + \ epsilon_z$$

$$\ epsilon_x = \ frac1 {E}（\ sigma_x- \ NU（\ sigma_y + \ sigma_z））$$ $$\ epsilon_y = \ frac1 {E}（\ sigma_y- \ NU（\ sigma_x + \ sigma_z））$$ $$\ epsilon_z = \ frac1 {E}（\ sigma_z- \ NU（\ sigma_x + \ sigma_y））$$

$$0 = \ epsilon_x + \ epsilon_y + \ epsilon_z = \ frac1 {E}（1-2 \ NU）（\ sigma_x + \ sigma_y + \ sigma_z）$$

$$\ epsilon_x = \ frac {11} {7} -1 \約0.57$$

$$\ epsilon_y = \ epsilon_z = \ sqrt {\ frac {7} {11}} - 1 \ about -0.20$$