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為什麽各向同性1/4的泊松比和最大值1/2(沒有凈體積變化時)?

這聽起來合乎邏輯,直到我嘗試了一些思想實驗。所以我一定做錯了。或者我錯過了一個基本方面。

我的想法是:

-lets說你有一個正交的平行六面體,通過應力 - 應變測試拉緊。 (在長軸或z方向上)。

  • 側面為5mm和4mm,軸向長度為7mm。

- 試驗已經拉長,直到試樣的軸向長度為11毫米,假設4毫米的側面沒有變化。

So the original volume was 4x5x7= 140 mm^3 and since there is no net volume change the final length of the lateral side that did change has to be: 140= a x 11 x 4 -> a= 35/11 mm

現在,如果你計算泊松比:v = - Ex/Ez

-> Ex = (35/11 -5)/5= -4/11 and Ez= (11-7)/7= 4/7

v= 4/11 : 4/7 = 7/11 = 0.64 > 0.5

我是如何理解的:沒有音量變化,所以當你伸長一個方向時,另外兩個會通過壓縮來補償。並且這個1/2的泊松比是在一個方向不壓縮的極端情況下,因此另一側必須采取所有壓縮。就像你將軸向長度延長到原始長度兩倍的情況一樣,那麽為了具有相同的體積,另外兩個方向必須變成它們原始長度的1/4或者一個方向必須變成其原始長度的1/2。 。這確實會使泊松比為1/4和1/2。所以我不明白為什麽與其他數值例子我沒有得到相同的1/4和1/2比率。

最佳答案

各向同性材料的第一毒藥比率同樣適用於每對維度。這意味著如果軸向長度拉伸$ 1 \%$兩個橫向尺寸將減少$ \ nu 1 \%$。我不知道你從哪裏獲得0.25號。

其次,這種近似僅在應變小時才有效。假設我們有一個尺寸為$ x $,$ y $和$ z $的正交平行六面體。如果我們應用壓力$ \ sigma_x $拉伸x方向並讓y和z尺寸無壓力。然後我們將:

$$ \ epsilon_x = \壓裂{\ sigma_x} {E} $$ $$ \ epsilon_y = - \ NU \壓裂{\ sigma_x} {E} $$ $$ \ epsilon_z = - \ NU \壓裂{\ sigma_x} {E} $$

所以新的維度將是:

$$ X'= X(1 + \ epsilon_x)$$ $$ Y'= Y(1- \ NU \ epsilon_x)$$ $$ Z'= Z(1- \ NU \ epsilon_x)$$

新卷將是:

$$ V'= x'\,y'\,z'= x \,y \,z \,(1 + \ epsilon_x)(1- \ nu \ epsilon_x)^ 2 $$

因此,新卷與舊卷的比率將為:

$$ \壓裂{V'} {V} =(1 + \ epsilon_x)(1- \ NU \ epsilon_x)^ 2 = 1 +(1-2 \ NU)\ epsilon_x +(\ NU ^ 2-2 \ NU) \ epsilon_x ^ 2 + \ NU ^ 2 \ epsilon_x ^ 3 $$

為了增加音量,您可以減去1.然後還有三個術語,但由於假設$ \ epsilon_x $很小,因此正方形和立方體術語應該由線性項支配。因此,這些術語通常被忽略,你留下$(1-2 \ nu)\ epsilon_x $。如果你有一個不可壓縮的固體,那麽這個值應該總是為零,所以$ \ nu $必須等於$ 0.5 $

讓我們看一個更一般的例子:

$$ V = V'$$

真的是說:

$$\begin{split}1=(1+\epsilon_x)(1+\epsilon_y)(1+\epsilon_z)=&1+ \\ & \epsilon_x+\epsilon_y+\epsilon_z + \\ & \epsilon_x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_x \epsilon_z + \\ & \epsilon_x \epsilon_y \epsilon_z \end{split}$$

但同樣假設菌株很小,多菌種的產物應該非常小,所以這個方程簡化為:

$$ 0 = \ epsilon_x + \ epsilon_y + \ epsilon_z $$

現在各向同性材料中的染色的一般方程是:

$$ \ epsilon_x = \ frac1 {E}(\ sigma_x- \ NU(\ sigma_y + \ sigma_z))$$ $$ \ epsilon_y = \ frac1 {E}(\ sigma_y- \ NU(\ sigma_x + \ sigma_z))$$ $$ \ epsilon_z = \ frac1 {E}(\ sigma_z- \ NU(\ sigma_x + \ sigma_y))$$

我們可以將這些總結在一起得到:

$$ 0 = \ epsilon_x + \ epsilon_y + \ epsilon_z = \ frac1 {E}(1-2 \ NU)(\ sigma_x + \ sigma_y + \ sigma_z)$$

所以我們再次看到一個節省量$ \ nu = \ frac12 $

現在為什麽這不適用於你的例子?

當你應用拉伸時,其他方向都應該收縮。為了使第二個方向不收縮,也必須拉動該方向。這種向第二個方向的拉動將進一步收縮第三個方向,但它也會收縮第一個方向,所以為了保持原來的位移,你必須更加努力。

然後你指定了$ \ nu = - \ frac {\ epsilon_z} {\ epsilon_x} $但是只有在x方向上只有壓力而你的方案不是這種情況時才會出現這種情況(因為一定有壓力)用於保持4厘米側4厘米)。

最後你施加的應變太大了。即使你讓兩個橫向尺寸自由應變,你也會得到一個不等於.5的泊松比,只是因為小應變近似不再有效:

$$ \ epsilon_x = \ frac {11} {7} -1 \約0.57 $$

節省數量:

$$ \ epsilon_y = \ epsilon_z = \ sqrt {\ frac {7} {11}} - 1 \ about -0.20 $$

這個數字還不到一半。

轉載註明原文: 為什麽各向同性1/4的泊松比和最大值1/2(沒有凈體積變化時)?